Definition

Statistischer Mittelwert, Median, Modus und Bereich

Die Begriffe statistischer Mittelwert, Median, Modus und Bereich beschreiben Eigenschaften von statistischen Verteilungen. In der Statistik ist eine Verteilung die Menge aller möglichen Werte für Bedingungen, die definierte Ereignisse darstellen. Der Wert einer Bedingung, als Variable ausgedrückt, wird als Zufallsvariable bezeichnet.

Es gibt zwei grundlegende Typen statistischer Verteilungen. Der erste Typ verfügt über eine diskrete Zufallsvariable. Das bedeutet, dass jede Bedingung einen genauen, einzelnen numerischen Wert hat. Ein Bespiel für eine Verteilung mit einer diskreten Zufallsvariable ist die Menge der Ergebnisse für eine Klassenarbeit in der Schule. Der zweite grundlegende Typ einer Verteilung verfügt über eine kontinuierliche Zufallsvariable. Hierbei kann eine Bedingung jeden Wert innerhalb eines zusammenhängenden Intervalls oder Bereichs haben. Eine solche Verteilung bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Diese Art von Funktion kann zum Beispiel ein Computer nutzen, um den Verlauf eines Wettersystems vorherzusagen.

Mittelwert

Der häufigste Ausdruck für den Mittelwert einer statistischen Verteilung mit einer diskreten Zufallsvariable ist der mathematische Durchschnitt aller Bedingungen. Um sie zu berechnen, addiert man die Werte aller Bedingungen und dividiert sie durch die Anzahl der Bedingungen. Dieser Ausdruck wird auch arithmetisches Mittel genannt. Es existieren noch andere Bezeichnungen für den Mittelwert einer endlichen Menge von Bedingungen, finden aber in der Statistik kaum Verwendung. Den MIttelwert einer statistischen Verteilung mit einer kontinuierlichen Zufallsvariable, auch als Erwartungswert bezeichnet, erhält man, indem man das Produkt der Variable mit ihrer durch die Verteilung festgelegten Wahrscheinlichkeit integriert. Der Erwartungswert wird durch den kleingeschriebenen griechischen Buchstaben My (µ) angegeben.

Median

Der Median einer Verteilung mit einer diskreten Zufallsvariable hängt davon ab, ob die Anzahl der Bedingungen in der Verteilung gerade oder ungerade ist. Wenn die Anzahl der Bedingungen ungerade ist, entspricht der Median dem Wert der Bedingung in der Mitte. Die Anzahl der Bedingungen mit Werten größer oder gleich diesem Wert entspricht dabei der Anzahl der Bedingungen mit Werten kleiner oder gleich diesem Wert. Wenn die Anzahl der Bedingungen gerade ist, dann entspricht der Median dem Durchschnitt der zwei Bedingungen in der Mitte. Dabei gilt, dass die Anzahl der Bedingungen mit Werten größer oder gleich diesem Durchschnitt der Anzahl der Bedingungen entspricht, deren Werte kleiner oder gleich diesem Durchschnitt sind. Der Median einer Verteilung mit einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist der Wert m, sodass die Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2 (50%) beträgt, dass ein zufällig gewählter Punkt auf der Funktion kleiner oder gleich m ist. Gleichzeitig gilt auch, dass die Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2 beträgt, dass ein zufällig gewählter Punkt auf der Funktion größer oder gleich m ist.

Modus

Der Modus einer Verteilung mit einer diskreten Zufallsvariable entspricht dem Wert der Bedingung, die am häufigsten vorkommt. Es ist nicht ungewöhnlich, dass eine Verteilung mit einer diskreten Zufallsvariable über mehr als einen Modus verfügt, insbesondere wenn nicht viele Bedingungen vorhanden sind. Dies tritt auf, wenn zwei oder mehr Bedingungen mit gleicher Häufigkeit, dabei aber häufiger als alle anderen vorkommen. Eine Verteilung mit zwei Modi wird als bimodal, eine Verteilung mit drei Modi als trimodal bezeichnet. Der Modus einer Verteilung mit einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist der Maximalwert der Funktion. Wie bei diskreten Verteilungen kann es mehr als einen Modus geben.

Bereich

Der Bereich einer Verteilung mit einer diskreten Zufallsvariable ist die Differenz zwischen dem Maximal- und dem Minimalwert. Bei einer Verteilung mit einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist der Bereich die Differenz zwischen den zwei Extrempunkten auf der Verteilungskurve, wo der Wert der Funktion auf null fällt. Für jeden Wert außerhalb des Bereichs einer Verteilung ist der Wert der Funktion gleich 0.

Diese Definition wurde zuletzt im September 2005 aktualisiert

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